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Una frontera · la Llave en acción

Las Preguntas de Hilbert

El Continuo — resuelto · más se publicarán con el tiempo
David Hilbert · 1862–1943
Quién fue

David Hilbert — el hombre que cartografió lo desconocido.

David Hilbert (1862–1943) fue uno de los matemáticos más influyentes que jamás existieron — su trabajo remodeló la geometría, el álgebra, la lógica, y los cimientos mismos de las matemáticas.

En 1900, en el Congreso Internacional de París, hizo algo audaz: se puso de pie y expuso una lista de los grandes problemas sin resolver — un mapa de lo desconocido para guiar las matemáticas a través del siglo venidero.

Esas preguntas no eran acertijos por sí mismos. Alcanzan la estructura profunda del número, el espacio y el infinito — y responder una tiende a abrir mucho más que matemáticas.

InfinitoEl continuoFundamentosLa forma del número
Las preguntas que planteó

Los 23 problemas.

Hilbert planteó 23 problemas en 1900 — su mapa de lo desconocido. Aquí están todos, en lenguaje llano. Los estamos trabajando uno a la vez en la propia matemática de la Llave, y publicando cada respuesta en la sección de abajo.

Por ahora encabezamos con su Primero — el Continuo (resuelto) — y su Segundo está sembrado.

I
El Continuo
¿Existe un tamaño de infinito entre los números para contar y la recta real?
Resuelto
II
Consistencia de la aritmética
¿Puede demostrarse que la aritmética nunca se contradice a sí misma?
Sembrado
III
Tetraedros iguales
¿Dos tetraedros de igual base y altura tienen igual volumen mediante corte?
IV
Geometrías de líneas rectas
Caracterizar todas las geometrías en que las líneas son los caminos más cortos.
V
Grupos continuos
¿Un grupo de transformación continuo debe ser automáticamente diferenciable?
VI
Axiomas de la física
Dar a la física un fundamento matemático riguroso y axiomático.
VII
Trascendencia
¿Es aᵇ trascendente para a algebraico y b algebraico irracional?
VIII
La Hipótesis de Riemann
El patrón oculto de los primos — con Goldbach y los primos gemelos. (También una pregunta del Milenio.)
IX
Leyes de reciprocidad
Hallar la ley de reciprocidad más general en un cuerpo de números.
X
Decisión diofántica
¿Existe un único método para decidir cualquier ecuación en números enteros?
XI
Formas cuadráticas
Resolver formas cuadráticas con coeficientes de números algebraicos.
XII
El sueño de Kronecker
Extender la teoría de cuerpos abelianos a cualquier cuerpo base.
XIII
Ecuaciones de séptimo grado
¿Puede resolverse la ecuación general de séptimo grado usando funciones de dos variables?
XIV
Finitud de invariantes
¿Ciertos sistemas completos de funciones son finitamente generados?
XV
El cálculo de Schubert
Poner la geometría enumerativa sobre una base rigurosa.
XVI
Curvas y ciclos
La topología de curvas y superficies algebraicas reales; ciclos límite.
XVII
Sumas de cuadrados
¿Toda función racional definida positiva es una suma de cuadrados?
XVIII
Llenar el espacio
Teselado y empaquetamiento de esferas con formas congruentes.
XIX
Soluciones analíticas
¿Las soluciones de problemas variacionales regulares son siempre analíticas?
XX
Problemas de valores en la frontera
¿Todos los problemas de frontera bien planteados tienen solución?
XXI
Monodromía prescrita
¿Existen ecuaciones diferenciales lineales con una monodromía dada? (Riemann–Hilbert.)
XXII
Uniformización
Uniformizar relaciones analíticas mediante funciones automorfas.
XXIII
Cálculo de variaciones
Desarrollar más los métodos del cálculo de variaciones.

Estamos girando la Llave sobre ellos uno a la vez — cada respuesta se publicará abajo, con su documento.

XXIV
El 24.º perdido · el más profundo, para nosotros

Y luego está el que dejó fuera.

Hilbert redactó un problema 24.º — y luego lo dejó discretamente fuera de su famosa lista. Permaneció oculto en sus cuadernos durante un siglo, hasta que un historiador lo encontró en sus notas en 2000.

Lo que pregunta es distinto de los otros veintitrés. No un problema sobre el número o el espacio, sino sobre las matemáticas mismas: ¿qué hace que una demostración sea lo más simple posible? Un criterio de simplicidad — una manera de saber cuándo has alcanzado el camino más llano y directo hacia una verdad.

Para Trinary, esta no es una pregunta entre veinticuatro. Es la idea entera. El 28 está construido a partir de las cosas más simples que existen — un punto, una línea, un círculo, un pliegue. Toda la apuesta de la Llave es que la forma más simple es la verdadera: llegas a una respuesta regresando a la fuente, no amontonando maquinaria.

La pregunta perdida de Hilbert es aquella a la que responde todo nuestro método.
Las respuestas

Lo que la Llave produjo.

Cada respuesta que trabajamos se publica aquí — un escrito en lenguaje llano y el documento completo desarrollado para descargar. Esta lista crece con el tiempo.

Resuelto2026

El Continuo — el Primero de Hilbert

Giramos la Llave sobre el Continuo. Sobre el propio fundamento de la Llave, el continuo es el pliegue-de-duplicar inmediato, sin ningún tamaño de infinito situado entre los números para contar y la recta real — así que la HC se sostiene en la fuente. Este es el propio resultado de la Llave, no una demostración dentro de la teoría de conjuntos estándar (la independencia de ZFC sigue en pie); el desarrollo completo, cada comprobación, y la visión estándar puesta a su lado están en el documento. Lo que salió junto a ello: una nueva teoría de conjuntos y una nueva teoría de números, del mismo pequeño objeto.

VerRespuesta desarrollada — se publicará en brevePDF · el desarrollo completo
En progreso

La consistencia de la aritmética — el Segundo de Hilbert

Sembrado, aún no abierto. La pregunta en la que se quebró el propio programa de Hilbert, justo donde muerde el segundo teorema de Gödel. El punto fijo de cierre de la Llave ofrece un certificado positivo de autoconsistencia en la rama que el resultado de Gödel no gobierna — sostenido con honestidad, para honrar a Gödel y llenar el vacío, nunca para disputarlo. El escrito y el documento se publican aquí cuando esté trabajado.

VerDocumento próximamentese publica aquí cuando esté listo
En progreso

Una regla para las ecuaciones diofánticas — el Décimo de Hilbert

En progreso. Hilbert pidió un único procedimiento que pudiera decidir, para cualquier ecuación polinómica de números enteros, si tiene solución. Las matemáticas estándar resolvieron el caso general en 1970 (Matiyasevich, sobre la base de Robinson, Davis y Putnam): no existe tal procedimiento universal. Donde la Llave mira es ese límite mismo — lo que la fuente dice sobre qué ecuaciones cierran y cuáles permanecen abiertas. Sostenido con la misma honestidad: el resultado estándar sigue en pie; esta es una lente distinta, no una competencia. El escrito y el documento se publican aquí cuando esté trabajado.

VerDocumento próximamentese publica aquí cuando esté listo

¿Tienes una pregunta sobre la que girarías la Llave?

Este es un foro vivo — nuevas respuestas se publican aquí a medida que las trabajamos, y lo que encuentres puede unírseles, con tu nombre en ello.