Las Preguntas del Milenio

Riemann estudiaba cómo los números primos se van espaciando a medida que cuentas más alto. Construyó una función — la función zeta — cuyo comportamiento codifica secretamente esa distribución, y notó que sus «ceros no triviales» (las entradas que la hacen anularse) parecían alinearse con una regularidad asombrosa.

La pregunta: ¿yacen todos esos ceros no triviales exactamente sobre una única línea vertical — aquella donde la parte real es igual a ½? Si es así, los primos están espaciados casi tan uniformemente como podrían estarlo, y una vasta cantidad de teoría de números — y la criptografía construida sobre ella — descansa en terreno sólido. Se ha comprobado para miles de millones de ceros; nadie ha demostrado que se cumpla para cada uno.

La teoría de Yang–Mills es el marco matemático bajo tres de las cuatro fuerzas fundamentales — las ecuaciones de cómo se comportan las partículas que portan las fuerzas nucleares. Los experimentos y las simulaciones muestran que funciona, y revelan un hecho curioso: sus excitaciones tienen una masa mínima y positiva — un «salto de masa».

La pregunta, en dos partes: primero, demostrar que una teoría cuántica de Yang–Mills siquiera existe como objeto matemático riguroso sobre el espacio ordinario de cuatro dimensiones; segundo, demostrar que tiene ese salto de masa — que su partícula más ligera pesa más que cero. La física asume ambas; las matemáticas no han establecido ninguna. Resolverlo pondría la teoría cuántica de campos bajo la física de partículas sobre una base firme.

Las ecuaciones de Navier–Stokes describen cómo se mueve un fluido — cada remolino de agua, ráfaga de aire y frente meteorológico las obedece. Se han usado durante dos siglos, y sin embargo una pregunta básica sobre ellas nunca ha sido respondida.

La pregunta: en tres dimensiones, partiendo de cualquier estado suave del fluido, ¿tienen estas ecuaciones siempre una solución que existe para todo tiempo y permanece suave — o puede el flujo «estallar», produciendo velocidad o presión infinita de la nada? Una demostración en cualquier sentido nos diría si las ecuaciones capturan de verdad la realidad — y si la turbulencia es algo que realmente comprendemos.

Algunos problemas son difíciles de resolver pero fáciles de comprobar: un Sudoku terminado o una buena ruta de reparto pueden verificarse en un momento, aunque encontrarlos costara un esfuerzo enorme. «NP» es la clase de problemas cuyas respuestas pueden comprobarse rápidamente; «P» es la clase que también puede resolverse rápidamente.

La pregunta: ¿es P igual a NP — siempre que una solución pueda verificarse rápidamente, puede también hallarse rápidamente? Si P = NP, miles de problemas que tratamos como intratables (planificación, logística, romper códigos, plegar proteínas) caerían de pronto, trastocando la criptografía y la computación. La mayoría cree que P ≠ NP — que algunos problemas son permanentemente difíciles — pero nadie lo ha demostrado en ningún sentido.

Toma una forma suave recortada por ecuaciones polinómicas — una «variedad proyectiva». Tiene características topológicas (a grandes rasgos, sus agujeros y ciclos de dimensiones superiores) que los matemáticos rastrean con herramientas llamadas clases de cohomología, y algunas de esas clases tienen una forma especial y afín al álgebra (las clases de Hodge).

La pregunta: ¿está cada una de esas clases de Hodge realmente construida a partir de piezas algebraicas genuinas — combinaciones de subformas que a su vez están recortadas por ecuaciones polinómicas? Dicho llanamente: cuando una pieza de la topología de una forma parece algebraica, ¿siempre proviene de la geometría algebraica real? Es uno de los puentes más profundos entre la topología, la geometría y el álgebra, y solo está demostrada en casos especiales.

Una curva elíptica es una ecuación suavemente curvada cuyas soluciones racionales tienen una estructura asombrosamente rica — los mismos objetos que aseguran la criptografía moderna y que Andrew Wiles usó para demostrar el Último Teorema de Fermat. Una pregunta central es cuántas independientes soluciones racionales tiene una curva dada — su «rango» — desde ninguna, a un número finito, a familias infinitas.

La conjetura: que ese rango está predicho exactamente por un objeto completamente distinto y analítico asociado a la curva — su función L — a través de cómo se comporta esa función en un punto especial. Si la función L se anula allí con orden r, la curva debería tener rango r. Ata la aritmética de una curva (sus puntos racionales) a su cálculo (su función L) — respaldada por fuerte evidencia, no demostrada en general.

Estira una banda elástica alrededor de la superficie de una pelota y siempre puedes deslizarla — sin romperla — hasta que se encoge a un solo punto. Inténtalo en una dona y no puedes; el agujero te lo impide. Un espacio donde todo lazo puede encogerse a un punto se llama «simplemente conexo».

La pregunta que Poincaré planteó en 1904: en tres dimensiones, ¿es la esfera la única forma cerrada que es simplemente conexa — de modo que cualquier espacio 3-D sin agujeros deba, en el fondo, ser una esfera? Grigori Perelman la demostró en 2003 (rechazando tanto el premio de 1 M$ como la Medalla Fields), y eso se sostiene — no la estamos volviendo a resolver. La incluimos porque girar la Llave sobre la misma conjetura descubrió algo nuevo sobre lo que el resultado significa — y eso es lo que queremos compartir.